2. Mathematische Theorie hinter RAT

Nachfolgend wird die dem Risk Assessment Tool (RAT) zu Grunde liegende mathematische Theorie aufbereitet und präsentiert.

Zu Beginn wird die bedingte Wahrscheinlichkeitsrechnung erläutert und danach darauf aufbauend, die Entscheidungsanalyse mit Wahrscheinlichkeits- und Entscheidungsbäumen.

2.1. Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ermöglicht eine Aussage darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis \(A\) eintritt gegeben, dass das Ereignis \(B\) eintritt.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Sind die Ereignisse \(A\) und \(B\) zwei zufällige Ereignisse und ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(B\) nicht Null, \(P(B)\neq 0\), so wird die bedingte Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung \(B\) definiert als

(2.1)\[P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)},\]

wobei \(P(A \cap B)\) die Wahrscheinlichkeit ist, dass \(A\) und \(B\) auftreten [2], p.1411.

Aus Gleichung (2.1) lässt sich durch Umformen und Vertauschen der Buchstaben der Zusammenhang

(2.2)\[P(A|B)P(B)=P(A \cap B)=P(B|A)P(A)\]

ableiten [2], p.1411.

Eine Folgerung von Gleichung (2.2) ist durch Betrachtung der beiden äusseren Elemente der Satz von Bayes in seiner elementarsten Form.

Die Bayes-Formel Sind \(A\) und \(B\) zwei zufällige Ereignisse und ist \(P(B)\neq 0\), so ist

(2.3)\[P(A|B)=\frac{P(B|A)}{P(B)}P(A)\]

[2], p.1411

Sind die Ereignisse \(A\) und \(B\) Befunde eines Tests oder einer Methode und haben sie jeweils zum Beispiel eine vorteilhafte \(X^{+}\) und eine unvorteilhafte \(X^{-}\) Aussage so bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit \(P(B^{+}|A^{+})\) als die Sensitivität und die Wahrscheinlichkeit \(P(B^{-}|A^{-})\) als die Spezifität.

Wörtlich ausgedrückt beschreibt die Sensitivität die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Test eine vorteilhafte Aussage als solche erkennen kann und die Spezifität beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Test eine unvorteilhafte Aussage als solche erkennen kann. Dies lässt schlussfolgern, dass ein Test auch eine Falschaussage liefern kann!

2.2. Entscheidungsanalyse

Die Entscheidungsanalyse eignet sich, um Entscheidungen mit grosser Unsicherheit zu analysieren. Sie bietet ein Gerüst und Methoden, um eine rationale Entscheidung zu treffen bei Pfaden und Ereignissen mit grosser Unsicherheit. Dabei wird zwischen zwei Entscheidungsprozessen unterschieden, dem Entscheiden ohne zusätzliche Experimente und dem Entscheiden mit zusätzlichen Experimenten [3], p. 680, 682. In der Folge wird nur auf den Fall mit zusätzlichen Experimenten eingegangen, da im Risk Assessment Tool die Verwendung von zusätzlichen Methoden, also Experimenten, analysiert wird.

Das Durchführen von zusätzlichen Experimenten kann die vorgängige Wahrscheinlichkeit erheblich verbessern. Hier kommen die in Abschnitt 2.1 erwähnten Begriffe Sensitivität und Spezifität ins Spiel. Nachfolgend wird der Sachverhalt mit einem aus [3], p. 688,689, adaptierten Beispiels erläutert.

Auf einem potenziellen Gebiet mit Heisswasser haben wir die Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Heiss})=0.25\) und dementsprechend \(P(\text{Trocken})=1-P(\text{Heiss})=0.75\). Die Wahrscheinlichkeit, Heisswasser zu finden ist zu niedrig. Deshalb wollen wir eine Untersuchungsmethode anwenden, deren Sensitivität und Spezifität als

\[\begin{split}\begin{aligned} P(X^{+}|\text{Heiss}) &= 0.6\\ P(X^{-}|\text{Trocken}) &= 0.8 \end{aligned}\end{split}\]

angegeben sind, wobei \(X^{-}\) für die unvorteilhafte Aussage es hat kein Heisswasser und umgekehrt \(X^{+}\) für die vorteilhafte Aussage es hat Heisswasser steht. Daraus lassen sich

\[\begin{split}\begin{aligned} P(X^{-}|\text{Heiss}) &= 1-P(X^{+}|\text{Heiss}) = 0.4\\ P(X^{+}|\text{Trocken}) &= 1-P(X^{-}|\text{Trocken}) = 0.2 \end{aligned}\end{split}\]

berechnen. Mit dem in Gleichung (2.3) eingeführten Satz von Bayes können nun die Wahrscheinlichkeiten des Vorhandenseins von Heisswasser, bzw. des Nicht-Vorhandenseins von Heisswasser, gegeben das unsere Methode die Aussage es hat Heisswasser (\(X^{+}\)) oder es hat kein Heisswasser (\(X^{-}\)) geliefert hat, berechnet werden.

\[\begin{split}\begin{aligned} P(\text{Heiss}|X^{-}) &= \frac{P(X^{-}|\text{Heiss})P(\text{Heiss})}{P(X^{-}|\text{Heiss})P(\text{Heiss})+P(X^{-}|\text{Trocken})P(\text{Trocken})} = \frac{1}{7}\\ P(\text{Trocken}|X^{-}) &= 1-\frac{P(X^{-}|\text{Heiss})P(\text{Heiss})}{P(X^{-}|\text{Heiss})P(\text{Heiss})+P(X^{-}|\text{Trocken})P(\text{Trocken})} = 1-\frac{1}{7} = \frac{6}{7}\\ P(\text{Heiss}|X^{+}) &= \frac{P(X^{+}|\text{Heiss})P(\text{Heiss})}{P(X^{+}|\text{Heiss})P(\text{Heiss})+P(X^{+}|\text{Trocken})P(\text{Trocken})} = \frac{1}{2}\\ P(\text{Trocken}|X^{+}) &= 1- \frac{P(X^{-}|\text{Heiss})P(\text{Heiss})}{P(X^{-}|\text{Heiss})P(\text{Heiss})+P(X^{+}|\text{Trocken})P(\text{Trocken})} = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}\end{split}\]

Eine geeignete Methode solche Berechnungen darzustellen bietet ein Wahrscheinlichkeitsbaum, der im nachfolgenden Abschnitt erläutert und in Abb. 2.1 gezeigt wird.

2.2.1. Wahrscheinlichkeitsbäume

Berechnungen, wie sie im vorherigen Beispiel gezeigt wurden, können mit einem Wahrscheinlichkeitsbaum geeignet dargestellt werden. Beispielhaft soll erneut die Berechnung aus Abschnitt 2.2 verwendet werden.

Der Baum beginnt mit dem Anfangszustand, woraus zwei Möglichkeiten ausgehen, Heiss und Trocken. Es soll nun eine Methode durchgeführt werden, welche die bereits aufgezeigte Sensitivität und Spezifität hat. Liefert uns die Methode eine Aussage \(X^{+}\), es hat Heisswasser, oder \(X^{-}\), es hat kein Heisswasser, so können wir gemäss dem Satz von Bayes die einzelnen Endpunkte der Pfade wie im vorherigen Abschnitt berechnen. Abb. 2.1 zeigt den dadurch entstehenden Wahrscheinlichkeitsbaum.

Abb. 2.1 Wahrscheinlichkeitsbaum nach einem Beispiel aus [3], p. 689.

2.2.2. Entscheidungsbäume

Um nun das beste Vorgehen zu identifizieren, können Entscheidungsbäume herangezogen werden. Dabei wird der Baum vom Anfangszustand aus aufgebaut und danach in umgekehrter Reihenfolge analysiert, um den besten Pfad zu finden. Diese Methode bietet einen nützlichen Weg das zu betrachtende Problem visuell darzustellen und die benötigten Berechnungen, die in den beiden vorangegangenen Abschnitten präsentiert wurden, zu organisieren. Entscheidungsbäume sind besonders hilfreich, wenn mehrere Entscheidungen hintereinander getroffen werden müssen [3], p. 691.

Es soll erneut das Beispiel aus [3] herangezogen werden. Wie bereits aufgezeigt, handelt es sich bei diesem Beispiel um ein Heissfeld auf dem eine Methode für weiteren Informationsgewinn angewendet werden soll. Es stellen sich nun zwei Fragen:

• Soll diese Methode durchgeführt werden bevor weiter vorgegangen wird?

• Welche Aktion (Bohren oder Verkaufen) soll schlussendlich durchgeführt werden?

Abb. 2.2 zeigt den für das Beispiel aufbaubaren Entscheidungsbaum. Die Buchstaben a, d, e und f stellen sogenannte Entscheidungsknoten dar, an denen eine Entscheidung getroffen werden soll. Die Buchstaben b, g, i und k sind Ereignisknoten, an denen der nächste Pfad von einem, mit einer Wahrscheinlichkeit behafteten, Ereignis abhängt. Die einzelnen Pfade die vom Knoten a ausgehen sind deshalb alle unterschiedlich [3], p. 694.

Nach dem Aufbau der einzelnen Pfade im Entscheidungsbaum müssen die einzelnen Knoten und Verbindungen mit den entsprechenden Zahlen versehen werden. Um Pfade in einem Entscheidungsbaum miteinander vergleichen zu können, werden Geldwerte benötigt. In diesem Beispiel sind dies Ausgaben für die Methode und Einnahmen durch den Heissfund oder das Verkaufen des Landes. Folgende Werte sind in Abb. 2.2 dargestellt:

• Zahlen in Klammern stellen Wahrscheinlichkeiten für diese Verbindung dar und können dem in Abb. 2.1 dargestellten Wahrscheinlichkeitsbaum entnommen werden oder mittels der in Abschnitt 2.1 und Abschnitt 2.2 dargestellten Zusammenhänge berechnet werden.

• Zahlen unter dem Strich einer Verbindung stellen den beispielhaften Geldfluss dieser Verbindung dar.

• Zahlenwerte am Ende eines Pfades stellen den summierten Geldfluss des gesamten Pfades dar.

• Zahlen an Knoten stellen erwartete Geldwerte an entsprechenden Knoten dar.

Die erwarteten Geldwerte an den Knoten werden während der Analyse des Entscheidungsbaums berechnet. Dabei wird vom rechten Rand des Baumes ausgegangen und nach links vorangegangen.

Für jeden Knoten wird dabei der erwartete Geldwert berechnet. Für einen Ereignisknoten addiert man dazu die beiden vorangegangenen (nach rechts), mit ihren Wahrscheinlichkeiten multiplizierten, erwarteten Geldwerte. An einem Entscheidungsknoten setzt man den maximalen Wert der vorangegangen (nach rechts) Knoten ein.

Führt man dieses Vorgehen fort bis zum Anfangsknoten a, so erhält man für diesen die beste Entscheidung, den nächsten Knoten mit dem höchsten erwarteten Geldwert. Im Beispiel wäre dies der Knoten b, also eine Methode durchführen.

Abb. 2.2 Entscheidungsbaum nach einem Beispiel aus [3], p. 689.